
\prob{0052}{根式方程III}

求关于$x$的方程

\[ \sqrt x + \sqrt{x + 7} + 2x + 2\sqrt{x^2 + 7x} - 35 = 0 \]

的实数根。
\problabels{yellow/代数, green/方程相关问题}

\ans{$x = \sfrac{841}{144}$}

\subsection{换元法}

基本思路：通过换元化简等式求解。

设

\[ p = \sqrt{x + 7}, q = \sqrt x \]

则

\begin{align*}
  p + q + p^2 + q^2 + 2pq - 42 &= 0 \\
  (p + q)^2 + (p + q) &= 42 \\
\end{align*}

解关于$p + q$的一元二次方程得$p + q = 6$。又由$p^2 - q^2 = 7$，即$(p + q)(p - q) = 7$知

\[ p - q = \frac7{p + q} = \frac76 \]

故

\[ q = \frac{(p + q) - (p - q)}2 = \frac{29}{12} \]

即$\sqrt x = \sfrac{29}{12}$，得$x = \sfrac{841}{144}$。

综上，原方程实数根为$x = \sfrac{841}{144}$。
